摘要：文章利用数学分析原理，就曲线路段尤其是非对称高边坡曲线段内土石方工程量的计算方法，结合云南元磨高速公路第六合同段工程实际，进行了探讨。
    在高速公路建设迅速发展的今天，路基土石方工程的施工已在高速公路建设投资中占据较高的比例。因此，土石方工程量的计算已显得十分重要，尤其是曲线路段（如下图1：磨黑口端路基平面图）绝大部分位于曲线的外侧，对于这样的非对称性曲线段路基，如果仍然按照传统的中线平均断面法（（S1+S2）*L2 ；L：测中线距离）计算工程量，从下文的分析推导过程可以明显看出计算结果偏差较大，有些部位甚至达到10%左右。因而笔者利用数学分析原理，通过工程实例并结合元磨高速公路第六合同段土石方施工的具体情况，提出了断面质心理论法。
元磨高速公路第六合同段地处云贵高原西部横断山脉南缘的哀牢山分水岭两侧坡麓地带，受河流下切和构造影响，具有明显的高山峡谷特征，呈V型高山地貌，工程全长5309.58米，其中路基土石方施工1972 米。路基最大深挖85米、深填30余米，路基土石方114万余方。
 
一：平均断面法
1） 平均横断面法
如图2所示为一典型曲线路段。沿道路中线L取微弧段dl。设微弧段两端路基横断面面积分别为S1、S2，其平均值为S，则得微体积元的微分方程 ：                  
 dv=S*dl                               ①
将微分弧长dl=R*dθ代入①式，式中dθ为dl所对的圆心角，R为相应的中线半径，于是①式转化为
dv=S*R*dθ
解该微分方程，即得中线L弧段所对应的路基土石方工程量。
V=0θSRdθ →V=S*R*θ                          ②
由于dl=R*dθ，则有
L=0θRdθ →L=R*θ                             ③
将  ③代入②式得：V=S*L  即：V=S1+S22  *L          ④
这就是简单的中线平均横段面法计算方量的一般表达式。
2） 平均纵断面法
如图3所示为一典型曲线路段的平面图，取平行于道路中线，距中线距离分别为d1、d2的两纵断面，则对应的微弧半径分别为R+d1、R+d2，dl1、dl2分别为对应的微角dθ1、dθ2的微分弧长，两断面对应的面积为S1、S2平均值为S。
⑴纵断面面积的推导
如图4所示为任一平行于中线的纵断面，图5为其对应的平面图，断面距中线的距离为d，微弧半径为R+d，dl为其对应的微角dθ的微分弧长。假设纵断内取任一微高dh与其弧长lh所得的面积为ds，弧长lh对应的园心夹角为hθ。设断面面积为S。
由上述③式推导可知：
dlh=（R+d）*dθ（ 　0≤θ ≤hθ）
解该微分方程得：
lh=（R+d）0hθdθ      （ 　0≤ hθ ≤θ）         ⑤
所以有微面积元：
ds=lh*dh
解该微分方程得：
S=0Hlh*dh                                        ⑥
这就是距中线距离为d的纵断面面积的计算公式。
⑵两纵断面间土石方量的推导
从图3所示平面图的两纵断面内取平行于路面的任一厚度为dh的一均匀薄片，截得如图6所示的剖面，假设dh∞0，那么薄片ABCD可以看成平面。
则薄片面积： s=（lh1+lh22 ）*（d1-d2）
薄片体积：dv=s*dh
  解该微分方程得：
V=（d1–d22 ）0H（lh1 +lh2 ）dh
即：V=（d1–d22 ）*（0Hlh1*dh +0Hlh2*dh  ）              ⑦
由⑥式纵断面面积推导结果知：V=（d1–d22 ）*（s1+s2）     ⑧
即是平均纵断面法计算土石方量的基本计算公式。
 
图2                                  图3
 
图4                                图5

 
         图 6                  图 7                  图 8

二：质心理论法
1）质心的计算方法
假设有如图7所示的路基横断面，建立以路中线与路面交点为坐标原点的图示坐标系，根据《材料力学》中截面的形心理论，如果把截面划成由若干简单图形如矩形、圆形、三角形等基本图形组成，因为从平面几何可知这些简单图形的面积及其形心坐标较为易求，另外《材料力学》中静矩定义又告诉我们：截面各组成部分对于某一轴的静矩之代数和就等于该截面对于同一轴的静矩。因此，我们不仿假定断面由若干三角形构成，如果三角形三顶点坐标（x1，y1）、（x2，y2）、（x3，y3），
那么该三角形的质心坐标即为：x=x1+x2+x33 ；
y=y1+y2+y33
该三角形的面积为：S=x1*y2-x2*y12 +x2*y3-x3*y22 +x3*y1-x1*y32
显然可得断面的质心坐标为：X=（∑Si*Xi）/∑Si；
Y=（∑Si*Yi）/∑Si
式中：Si、Xi、Yi为第I个三角形的面积、形心坐标。
2）质心断面的土石方计算方法
⑴质心旋转体法
假如图2中两横断面s1、s2的质心坐标已知，X轴坐标分别为X1、X2（其他参数同图二），如果把断面s1、绕圆心顺时针旋转θ角至s2；同样s2绕圆心逆时针旋转θ角至s1，那么分别形成以截面积为S1、S2的空间旋转体，根据空间几何旋转体的体积公式可求得：
V1=S1*（r+X1）*θ；
V2=S2*（r+X2）*θ
现在如果在两断面旋转后的空间立体内取任一平行于路中线的剖面，剖得如图八所示的剖面图，则根据集合运算法则可得两断面旋转后所构成的空间立体的体积为：
V=V1+∣V1-V2∣2                  ⑨
这就是利用横断面质心旋转法求体积的基本计算公式。
⑵质心平均平距法
同理，如果图2中两横断面s1、s2的质心坐标已知，X轴坐标分别为X1、X2（其他参数同图二），根据③式的推导则：断面S1的质心至断面S2的弧线距离L1=（R+X1）*θ；断面S2的质心至断面S1的弧线距离L2=（R+X2）*θ。
则根据两断面的质心平均平距计算土石方量的基本公式为：
V=S1+S22 *L                                     ⑩
式中：L= L1+L22
此式即为根据质心平均平距求两断面间土石方的基本计算公式。
三：缓和曲线虚拟圆的解算
  因为缓和曲线是起自一条由半径无穷大的直线按照一定的规律渐变到一半径为定值R的圆曲线而最终形成的螺旋线，所以假设已求得缓和曲线段内任意两相临桩号的中桩参数（X1、Y1）和法向方位角A1；（X2、Y2）和法向方位角A2；如下图九所示，那么，通过延长两直线可以得到一交点O＇，则O＇即为该缓和曲线段内任意两相临桩号的虚拟圆的圆心。圆心坐标及半径为：
X O＇=Y2-Y1+tg（A1）*X1-tg（A2）*X2tg（A1）-tg（A2）
Y O＇=Y1+tg（A1）*（X O‘-X1）
R O＇=POL（X O‘- X1，Y O‘- Y1）
经我们对缓和曲线段内有关虚拟圆的大量计算，结果表明无论是利用（X1、Y1）或（X2、Y2）所求得半径相差甚小均在5cm以内，对于半径为几百米的曲线路段来讲，可以认为对土石方工程量的计算没有影响。
四：算例
算例一：
为计算方便假如有图九所示的两断面位于半径200米的曲线路段内，根据图中数据采用上述各几种方法计算开挖土石方量如下：
1） 平均横断面法
由④式推导得： V=S1+S22  *L=702+5372 *10=6195M3
2） 平均纵断面法
根据图中断面数据和⑧式推导，计算结果见下表
  

纵断面工程量计算表
里    程 距离 挖方
公里 另 米  面 积/2 平 均 方 量
0 0  0.0  
  5  33.25 166
0 5  66.5  
  10  118.25 1183
0 15  170.0  
  10  205.75 2058
0 25  241.5  
  10  200.50 2005
0 35  159.5  
  2  168.55 337
0 37  177.6  
  8  88.80 710
0 45  0.0  
     
合   计 6459
3） 质心旋转法
断面质心、面积计算见‘断面质心计算表一、二’，根据⑨式推导得：
V1=S1*（r+X1）*θ=537*（200+8.603）*10/200=5601m3
V2=S2*（r+X2）*θ=702*(200+8.397)*10/200=7315m3
V=V1+∣V1-V2∣/2  =5601+(7315-5601)/2=6458 m3
4)质心平均平距法
由⑩式推导知:
L1=(200+8.603)*10/200=10.430
L1=(200+8.397)*10/200=10.420
 V=S1+S22 * L1+L22  =702+5372 *10.430+10.4202 =6458 m3
算例二：
现以元磨高速公路第六合同段K258+080、K258+090两段面为例进一步验算上述计算方法的可行性（半径R=200）,由于在开工时没测纵断面,所以无法进行纵断面法计算。
1） 平均横断面法
由④式推导得： V=S1+S22  *L=554.933+1158.9332 *10=8569.3M3
2) 质心旋转法
断面质心、面积计算见‘断面质心计算表三-七’，根据⑨式推导得：
V1=S1*（r+X1）*θ=554.933*（200+26.537）*10/200=6258.6m3
V2=S2*（r+X2）*θ=1158.933*(200+37.139)*10/200=13741.4m3
V=V1+∣V1-V2∣/2  =6258.6+(13741.4-6258.6)/2=10000.0 m3
3)质心平均平距法
由⑩式推导知:
L1=(200+26.537)*10/200=11.327
L1=(200+37.139)*10/200=11.857
 V=S1+S22 * L1+L22  =1158.933+554.9332 *11.327+11.8572  =9933.6m3
四:几点体会
1）通过上述分析、计算过程显然可知：影响平均横断面法精度的唯一情况是计算距离L，只有断面质心距中线较近或者断面位于直线范围内时，质心平距受路线影响不大，相应的土石方量也较为准确。
2）采用纵断面法可以说是一种较为简单、精确的算法，但是有些时侯，在工程开工之初而未能及时测量到纵断面图。所以，建义尤其是对于曲线路段应及早测量纵断面图。
3）用质心法，从上述推算过程可知：显然计算工作量较大，但是对于补救未及时进行复测纵断面的情况下，也不失为是一种较好的措施。

参考文献
1、张金水，《道路勘测设计》，同济大学出版社，2001
2、周水兴，何兆益，邹益松 ，《路桥施工计算手册》，人民交通出版社，2001
3、常砚阁，《简明道路路线设计与测设手册》，人民交通出版社， 2000
4、孙训方，《材料力学》，高等教育出版社，1997